方差比率检验是金融经济学检验市场有效性的常用方法。Fama在1965到1970年提出了有效市场假说，他认为资产价格会准确及时地反应资产价值相关的信息，也就是说通过历史信息投资者并不能获得超额收益。这并不意味着投资者不能战胜市场，而是说“没有免费的午餐”，投资者获得的超额收益一定承担了额外的风险。根据资产价格当时反应的信息，市场有效性被划分为弱有效、半强势和强有效市场。弱有效市场是说资产价格只反应了资产相关的历史信息，半强势是说资产价格反应了所有公开信息，强势则说资产价格反应了所有信息（包括私人信息）。

市场效率是信息套利者参与市场的副产品。信息套利者是经济主体，他们根据出现的新信息购买被低估的资产并出售被高估的资产。 通过这样做，这些信息套利者将新信息反映到证券价格中。如果市场是有效的，就不可能存在资产被低估或高估的情形，所以信息套利者的期望收益应该是零。因此，市场不可能是完全有效的（参见 Grossman and Stiglitz 1980 ¹），信息套利者赚取的经济租金是由于噪声交易者的“低效”行为而赚取的（参见Black 1986 ²）。但市场并不能排除信息套利者和噪声交易者，他们的存在影响了市场有效性。

我们通常说的市场有效性检验一般是弱有效的检验，因为历史信息已经反映在资产价格中了，反映历史信息对应的就是弱有效的市场。资产价格一般用随机游走来描述，因此，大多数情况下，市场有效性的检验都是基于随机游走的检验，而方差比率检验也是基于随机游走假设（参见Amélie Charles和Olivier Darné，2009 ³）,Amelie and olivier对各种方差比率检验的形式和方法做了详细的描述，我们就选择最常用的两种方法来解释，并通过R语言来实现计算。

给定一个时间序列\(\{y_t\}^T_{t=1}\),随机游走假设对应的一阶自回归模型的系数\(\phi=1\),一阶自回归模型如下：

\[y_t=\mu +\phi y_{t-1}+\epsilon_t\]

其中，\(\mu\)是一个未知的漂浮项，\(\epsilon_t\)是独立同分布的误差项。

大多数研究都是通过方差比率的方法来检验随机游走，他们认为时间序列\(y_t\)的一阶差分\(x_t=y_t-y_{t-1}\)服从一个鞅差分过程，则将方差比率定义为：

\[V(k)=\frac{Var(x_t+x_{t-1}+x_{t-2}+\cdots+x_{t-k+1})/k}{Var(x_t)} \\ =\frac{Var(y_t-y_{t-k})/k}{Var(y_t-y_{t-1})}\\=1+\sum_{i-1}^{k-1}{(1-\frac{i}{k})}\rho_i\]

其中，\(\rho_i\)是\(x_t\)之后i阶自回归系数。

核心思想：

方差比率检验的核心思想是\(x_t\)是可观测的，它是独立同分布的，并不随着时间变化，则会有\(Var(x_t+x_{t-1}+x_{t-2}+\cdots+x_{t-k+1})=kVar(x_t)\),即\(V(k)=1\),也就是说假设\(H_0:\rho_1=\rho_2=\cdots=\rho_{k-1}=0\)成立,说明\(x_t\)是序列不相关的，即\(y_t\)服从随机游走，市场是有效的。

那么\(V(k)\)只是一个统计量，我们如何来估计它呢？说来也简单，统计的思想不就是用样本来估计总体嘛，分布构造分子分母对应的检验统计量就好，具体如下：

\[VR(k)=\frac{\hat{\sigma}^2(k)}{\hat{\sigma}^2(1)}\]

其中，\(\hat{\sigma}^2(1)\)是\(x_t\)的方差，被定义为：

\[\hat{\sigma}^2(1)=\frac{1}{T-1}\sum^{T}_{t=1}{(x_t-\hat{\mu})^2}\]

而\(\hat{\mu}=1/T\sum_{t=1}^{T}x_t\),是\(x_t\)的均值。

对于\(\hat{\sigma}^2(k)\)有很多方法计算，由于受样本量的限制，为了提高统计检验效率，常常使用重叠时间的观测值。例如，Lo and MacKinlay (1988) ⁴ 提倡使用估计量如下：

\[\hat{\sigma}^2(k)=m^{-1}\sum_{k}^{T}(x_t+x_{t-1}+x_{t-2}+\cdots+x_{t-k+1}-k \hat{\mu})^2\]

其中，\(m=k(T-k+1)(1-kT^{-1})\),m被选择后，\(\hat{\sigma}^2(1)\)就是\(Var(x_t)\)的无偏估计量。

Wright (2000)⁵将VR统计量改写为：

\[VR(x;k)=\frac{(kT)^{-1}\sum_{k}^{T}(x_t+x_{t-1}+x_{t-2}+\cdots+x_{t-k+1}-k \hat{\mu})^2}{\frac{1}{T}\sum^{T}_{t=1}{(x_t-\hat{\mu})^2}}\]

现在有一些研究采用方差比率检验来考察噪声者的参与程度。在随机游走原假设下，方差比率的期望为1，表明市场无噪声交易者，如果市场上噪声交易比率越高，则方差比偏离1的程度越大。因此，\(VR(k)-1\)反映了噪声交易引起的股价波动方向，若该值为正，即自回归系数加总为正，说明股价波动存在均值偏离的动量效应，反之，说明存在均值回归的反转效应。，\(VR(k)\)偏离1的程度，反映了噪声交易者的参与程度，所以，可以用\(NoiseTrd=|VR(k)-1|\)代表噪声交易者的参与程度。

一般情况下，我们认为\(y_t\)为股票对数价格，则\(x_t\)为股票收益，有了数据我们就可以采用以上两种方法来计算检验统计量\(VR(k)\)和噪声参与程度\(NoiseTrd\)。代码如下：

##加载数据处理需要的程序包
pacman::p_load(readxl,foreign,plyr,plm,stringr,dplyr,tidyr,knitr,
  officer,flextable,stargazer,ggthemes,ggplot2,shiny,DT,reticulate)

##读入收益率数据
load("F:/科研/开题准备/实证/analsisold/dayreturns.RData")

##Lo and MacKinlay 方法计算函数
vR1<-function(x,k){
  T<-length(x)
  m=k*(T-k+1)*(1-k/T)
  mu=mean(x)
  len<-k:T
  if(k==1){
    sim=cumsum(x)
  }else{
    sim=tail(cumsum(x),-(k-1))
  }
  sigmak<-sum((sim-len*mu)^2)/m
  sigma1<-var(x)
  VRk<-sigmak/(sigma1)
  return(VRk)
}

##Wright方法计算函数
vR2<-function(x,k){
  T<-length(x)
  m=k*T
  mu=mean(x)
  len<-k:T
  if(k==1){
    sim=cumsum(x)
  }else{
    sim=tail(cumsum(x),-(k-1))
  }
  sigmak<-sum((sim-len*mu)^2)/m
  sigma1<-var(x)
  VRk<-sigmak/(sigma1)
  return(VRk)
}

##计算每月统计量及噪声交易指标
VR<-stockdata%>%mutate(yms= format(as.Date(trade_date),"%Y-%m"))%>%
  group_by(ts_code,yms)%>%summarise(VR51=round(vR1(dayreturn,5),3),VR52=round(vR2(dayreturn,5),3))%>%
  ungroup()%>%mutate(NoiseTrad1=round(abs(VR51-1),3),NoiseTrad2=round(abs(VR52-1),3))

由于全部月度数据太大，这儿只展示2019年9月以后的数据，需要完整数据的，代码拿去自己跑。